Skip to main content

Area Optimization - Lab Report One - OR1

Hello everyone! It's me Shouq. This is the first lab report for an Industrial Engineering class called Operational research / optimization - OR1 - IE335 which I took in Fall 2017 in the American University of the Middle East (AUM) in Kuwait.

Area Optimization

Abstract

The objective of this report is to show our work in how to find the maximum area of a rectangle by using an operational research approach. At first, we will identify the decision variables, and find the objective functions as well as the constraints. We then try to find the domain of the objective function and the critical points. Also, we will sketch a graph of the objective function using both basic calculus knowledge and Excel.
Keywords: Maximum, area, operational, research, rectangle.

Introduction

Operational resource approach is the way we are using to find the objective of this report which is to find the maximum area of a rectangle. Operational resource approach is a scientific way to find the best requirement and solve problems under certain constraints. Also, Decision Variables are what will be affecting the final result which will be discussed in a bit. On the other hand, objective functions and criterions can be either maximum or minimum.





For simplicity let us take L = 1 m = 100 cm
Decision Alternative: Trying to decide the width and the height that will give us the maximum area.
Restrictions and constraints: L = 2 ( H + W )
                   Width and height cannot logically be negative. W >= 0, H >= 0
Solution: Let Z be the area of the rectangle. Z = W * H
General OR model:
Max Z = W * H
Subject to L = 2 ( H + W )
            W >= 0, H >= 0
Where Z is the area, W is the width of the rectangle, H is the high of the rectangle, and finally L is the wire length that we assumed to be 1 m = 100 cm in this case.

 Result and discussion

In each rectangle we notice that we have two height lines and two width lines. In the table below we notice that the height here is actually the total of the two height lines added together and same goes to the width.
Length (L)
Height (H)
Width
Area
100
99
1
99

98
2
196

97
3
291

96
4
384

95
5
475

94
6
564

93
7
651

92
8
736

91
9
819

90
10
900

89
11
979

88
12
1056

87
13
1131

86
14
1204

85
15
1275

84
16
1344

83
17
1411

82
18
1476

81
19
1539

80
20
1600

79
21
1659

78
22
1716

77
23
1771

76
24
1824

75
25
1875

74
26
1924

73
27
1971

72
28
2016

71
29
2059

70
30
2100

69
31
2139

68
32
2176

67
33
2211

66
34
2244

65
35
2275

64
36
2304

63
37
2331

62
38
2356

61
39
2379

60
40
2400

59
41
2419

58
42
2436

57
43
2451

56
44
2464

55
45
2475

54
46
2484

53
47
2491

52
48
2496

51
49
2499

50
50
2500

49
51
2499

48
52
2496

47
53
2491

46
54
2484

45
55
2475

44
56
2464

43
57
2451

42
58
2436

41
59
2419

40
60
2400

39
61
2379

38
62
2356

37
63
2331

36
64
2304

35
65
2275

34
66
2244

33
67
2211

32
68
2176

31
69
2139

30
70
2100

29
71
2059

28
72
2016

27
73
1971

26
74
1924

25
75
1875

24
76
1824

23
77
1771

22
78
1716

21
79
1659

20
80
1600

19
81
1539

18
82
1476

17
83
1411

16
84
1344

15
85
1275

14
86
1204

13
87
1131

12
88
1056

11
89
979

10
90
900

9
91
819

8
92
736

7
93
651

6
94
564

5
95
475

4
96
384

3
97
291

2
98
196

1
99
99



From the graph above, we notice that the maximum area of a rectangle of 100cm length will be 2500. When the area is equal to 2500, the heights added together will be equal to 50cm ( 25cm + 25cm ) as well as the width added together will be equal to 50cm ( 25cm + 25cm ).



The problem in one decision variable:
A = H * W
L = 2 * ( H + W)
L / 2 = W + H
W = ( L / 2 ) – H
Area Z = W * H
            = ( ( L / 2 ) – H ) * H
            = ( L / 2 ) * H – H^2

If we toke a number for H, we can simply find the area Z as we already know that L is equal to 100 cm.
To find the maximum Area:
dA / dH = 0
dA / dH ( ( L /2 )H – H^2 ) = 0
L / 2 – 2*H = 0
2*H = L / 2
H = L / 4
W = L / 2 – H
( L / 2 ) – ( L / 4 ) =  ( L / 4 )
( L / 4 , L / 4 ) is optimal solution
dA / dH ( L / 2 – 2*H ) = 0
0 – 2 = 0
No maximum or minimum of the objective function

Find critical point:
Max f(x,y) = x * y
2 * ( x + y ) = L
x >= 0, y >=0
x + y = L/2



y = L/2 – x                                                         x = L/2 – y
From y = L/2 – x in f(x,y)
F(x,y) = x * (L/2 – x)
           = L/2 * x – x^2
f(x,y) / x = ( L / 2 ) * x – x^2

For the max of x:
L/2 – 2 * x = 0
2*x = ( L / 2 ) * 2
4*x = L
x = L/4
f(x,y) / y = ( L / 2 ) – 2 * y

For the max of y:
(L/2 – y ) * y = f(x,y)
f(x,y) = L/2 * y – y^2
f(x,y) / y = ( L / 2 ) – 2 * y = 0
y = L / 4

f (w,h) / w = ( L / 2 ) – 2*W
f (w,h) / h = ( L / 2 ) – 2*h
In this problem, we assumed that the length is equal to 1 m which is 100 cm.
The domain of the objective function:

Z = W * H
   = ( ( L / 2 ) – H ) * H
   = H * ( L / 2 ) – H^2

H / 2 – H^2 >= 0                H * ( ( L / 2 ) – H ) >= 0
H^2 =< ( H / 2 )


[ 0, L/2 ]

Conclusion

In conclusion, we can use the operation research approach in order to find the general operational research model. It is very helpful if we are trying to find solution to problems regarding minimum or maximum. Also, the operational research model will help us to make better decisions and find optimal solutions.

In this report, we used the operational resource approach to find the maximum area of a rectangle that has 100 cm length. Moreover, the problems are broken down into basic components and then solved in defined steps by mathematical analysis.

The students who worked in this lab report are
  1. Shouq Alansari
  2. Hanan Akbar
  3. Manal Al-Mutairi
  4. Nour Almuwai
  5. Reem Almertiji
Knowing that not all students in the group have put equal efforts on this lab report. Some students worked harder than others, and it is normal when it comes to working on groups.
Things to learn from this lab report:
  1. Be aware of the "number" of spaces you have. Your professor will detect marks if "the number of spaces" after the first paragraph is different than the "number" of spaces after the second paragraph.
  2. Always write a comment under any graph, table, or picture you have.
  3. Be professional as much as you can.





Popular posts from this blog

هل تريدين التبرع بشعرك؟ كيف؟ دليلك الشامل لكيفية التبرع بالشعر// Hair donation

"مرحباً! شعري طويل  وأفكر بقصه، أظن أنه من الإسراف أن أرمي شعري الطويل في القمامة بعد قصه لذا فكرت أن أتبرع به ولكن المشكلة أنني لا أعرف كيف أتبرع به ولا أين يمكنني فعل ذلك" السلام عليكم! اسمي شوق، قمت بالتبرع بشعري للمرة الأولى قبل سنتين في عام 2015 وبحثت كثيراً عن كيفية فعل ذلك بكلتا اللغتين العربية والإنجليزية كذلك، إذا كان لديك شغف في معرفة كيف يمكنك التبرع بشعرك إذن ما سأكتبه قد يكون مفيد بالنسبة لك ملاحظة : كل شيء سأقوله مرتبط بالشركة التي أتبرع لها، كل شركة لها شروط وتعليمات مختلفة عن الشركة الأخرى. الشعر المسموح التبرع به:   أقل طول مسموح التبرع به هو 12 انش اي حوالي 31 سم ، لتتأكدي أن القياس صحيح قومي بتحويل الشعر "الكيرلي" إلى شعر مسطح "ستريت". .يجب على الشعر أن يكون نظيف وغير مبلل، الشعر المبلل قد يتعفن خلال الشحن لا يمكنك التبرع بالشعر المصبوغ إلا بعد  أن يتلاشى الصبغ (إن كان هذا ممكناً) يمكن التبرع بالشعر الأبيض الناتج عن التقدم بالعمر. قبل التبرع قومي بتقسيم شعرك إلى 4 أقسام وسيكون أفضل لو استطعتي تقسيم شعرك إلى 6 ...

تجربتي مع إختبار الكفاءة في اللغة اليابانية في مصر Taking the JLPT in Egypt

السلام عليكم جميعاً! قبل أيام قليلة أخيراَ قمت بمعرفة درجة اختبار الكفاءة في اللغة اليابانية المستوى الخامس N5 لنبدأ أولاً بالتحدث عن ماهية الإختبار يطلق على الإمتحان JLPT JLPT=Japanese Language Proficiency Test=اختبار الكفاءة في اللغة الياباينة إختبار الكفاءة في اللغة اليابانية يحتوي على خمس مستويات حيث المستوى الأول أصعبها والمستوى الخامس أسهلها. N5 N4 N3 N2 N1 لماذا حرف الـ N ؟ لأن كلمة "اللغة اليابانية" في اللغة اليابانية هي 日本語 وتنطق "نيهون قو". ثانياً: التسجيل لنتحدث عن طريقة التسجيل لأنني لست مصرية ولا أعيش في مصر لذا بكل تأكيد قمت بالتسجيل عن طريق الإنترنت، ولكن كيف؟ قمت بالتواصل معهم عن طريق هذا الإيميل ثم قمت بالتواصل مع أحد موظفين مؤسسة اليابان في القاهرة، طلب مني ارسال صورة شخصية وتعبئة استمارة التسجيل ايميل مؤسسة اليابان في القاهرة: culture@ca.mofa.go.jp صورة للإستمارة وسوف يتم اخبارك كيف تقوم بتعبأة الإستمارة فلا تقلق!  ❤ يوم الإمتحان وصلنا الجامعة الساعة 8 أو 8:30 صباحاً، قبل دخول الجامعة مقابل البوابة قام رجال الأ...

( Japanese poem )The little bird, the bell, and me 私と小鳥と鈴と 「英語訳」

[Translated script] The little bird, the bell, and me Even with both of my hands open, I still can't fly in the sky, But the little flying bird Can't run as fast on the ground as me. Even if I shake my body, No beautiful sound comes out. But the ringing bell Doesn't know as much songs as me, The bell, the little bird and also me, We are all different, yet we are good. Poet: Misuzu Kaneko Translated by: Shouq A - Q8toy - ショーグ [The script for the poem] 私と小鳥と鈴と 私は両手うをひろげても、 お空はちょっとっも飛べないが。 飛べる小鳥は私のように、 地面を速く走れない。 私は体をゆすっても、 綺麗な音は出ないけど、 あの鳴る鈴は私のように、 たくさんな音は知らないよ。 鈴と小鳥とそれから私、 みんな違って、みんないい。 詩人:金子みすゞ [ Hiragana ~ ひらがな ] わたしとことりとすずと わたしはりょうてをひろげても おそらはちょっとっもとべないが。 とべることりはわたしのように、 じめんをはやくはしれない。 わたしはからだをゆすっても、 きれいなおとはでないけど、 あのなるすずはわたしのように、 たくさんなおとはしらないよ。 すずとことりとそれからわたし、 みんなちがって、みんないい。 しじん:かねこ みすず